LOS NÚMEROS DECIMALES

Definición y ejemplos números naturales

Los números naturales son los elementos del conjunto N={1, 2, 3, 4, 5,…} que se utilizan para contar los elementos de un conjunto X. Se dice que el conjunto de lo números naturales es infinito porque dado un número u siempre podemos encontrar un número v más grande que u: v>u.

Existe controversia sobre la definición de los números naturales, la definición anterior incluye al cero, pero existen matemáticos que incluyen al cero N={0, 1, 2, 3, 4, 5,…}

Ejemplos:

Los números naturales nos permiten:

Contar los elementos de un conjunto:

• Cuántas manzanas hay en una canasta
• Cuántos peces hay en una pecera
• Cuántos corredores compiten en una carrera
• Cuántos primos tenemos
• Cuántos compañeros de clase tenemos

Ordenar los elementos de un conjunto:

• El orden de llegada de los autos de carreras en una competencia
• El mejor promedio de la escuela, el segundo mejor promedio, el tercer mejor promedio,…
• El más alto, el segundo más alto, el tercero más alto,…
• El más joven, el segundo más joven, el tercero más joven,…

Identificar objetos:

El número de socio de un club deportivo

• El número de placas de un automóvil
• El código postal de una zona
• Los números de teléfonos

LAS FRACCIONES

¿Qué es una fracción?

1- Definición

Una fracción es un número, que se obtiene de dividir un entero en partes iguales. Por ejemplo cuando decimos una cuarta parte de la torta, estamos dividiendo  la torta en cuatro partes y consideramos una de ellas.

Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.

La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.

El numerador es el número de partes que se considera de la unidad o total.

El denominador es el número de partes iguales en que se ha dividido la unidad o total.

2- Lectura de fracciones
Todas las fracciones reciben un nombre específico, se pueden leer como tal, de acuerdo al numerador y denominador que tengan.
El número que está en el numerador se lee igual, no así el denominador. Cuando el denominador va de 2 a 10, tiene un nombre específico (si es 2 es "medios", si es 3 es "tercios", si es 4 es "cuartos", si es 5 es "quintos", si es 6 es "sextos", si es 7 es "séptimos", si es 8 es "octavos", si es 9 es "novenos", si es 10 es "décimos"), sin embargo, cuando es mayor que 10 se le agrega al número la terminación "avos".

EJEMPLOS

Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones

1. Cuando tienen el mismo denominador:

Se suman o se restan los denominadores y se deja el mismo numerador. Después si podemos se simplifica 

 2. Cuando tienen diferente denominador 

Hay que reducir a común denominador.

a) Se calcula el m.c.m de los denominadores. Descomponemos en factores los denominadores y cogemos los factores común de mayor exponente y los no comunes

b) Dividimos el m.c.m obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador 

c) Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador .

d) Si podemos simplificamos.

Para comparar fracciones de distinto denominador, primero debemos reducirlas a común denominador, luego ya las podemos ordenar y comparar. 

Producto de fracciones

1º Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo numerador.

2º Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador.

3º Después se simplifica.

Fracción de un número: Es una multiplicación de fracciones, el número tiene como denominador uno.

Fracción de una fracción: Se multiplican las dos fracciones.

Fracción inversa: Se le da la vuelta, el numerador pasa a ser el denominador y el numerador es el nuevo denominador. Una fracción multiplicada por su inversa da la unidad.

División de fracciones

1º Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda, el producto es el nuevo numerador.

2º Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la segunda, el producto es el nuevo denominador.

3º Después si podemos se simplifica.

LOS NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales son aquellos que cuentan con una parte decimal y por tanto se contraponen a los números enteros que son una generalización de los números naturales, que incluye números enteros negativos y al cero; los números enteros no cuentan con una parte decimal.
Dentro de los números decimales nos encontramos, por un lado, con los números racionales, los cuales pueden ser expresados a través de una fracción de dos números enteros y por otro lado con los números irracionales, cuando no pueden representarse con una fracción de dos números entero
Pero además, dentro de los números racionales nos encontramos con otra división, entre números decimales exactos (cuando tienen un número de cifras decimales finitas) y números decimales periódicos (cuando tienen una parte periódica que se puede repetir indefinidamente 10,3333). Y en los números decimales periódicos también nos encontramos con una distinción, con puros, si es que la parte decimal está conformada por un período que se repite de manera indefinida; o con mixtos, si es que en la parte decimal hay un mix entre parte no periódica y parte periódica.

Operaciones con decimales

Suma y resta de decimales

Para sumar o restar números decimales, se colocan los números en columnas haciendo coincidir las comas decimales y cada unidad con su unidad correspondiente. Las cifras que faltan se completan con ceros.

Multiplicación de decimales

Para multiplicar dos números decimales, realizamos la multiplicación como si no hubiera decimales. En el resultado, empezando por la derecha, separamos tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores.

Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros (10,100,1000,...) movemos la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros haya en el 10,100,1000...

División de decimales

Enteros con cociente decimal:
Dividimos como siempre, cuando ya no nos quedan cifras para bajar en el dividendo, colocamos una coma en el cociente. Bajamos un cero del dividendo y seguiremos haciendo la división. Bajaremos tantos ceros como cifras decimales queramos en el cociente.

Decimal entre un entero:
Dividimos como si fueran dos números enteros. Cuando llegamos a la coma decimal, ésta la bajamos en el cociente. Después seguimos dividiendo hasta terminar con todas las cifras del dividendo.
Para dividir un número decimal por la unidad seguida de ceros (10,100,1000,...) movemos la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros haya en el 10,100,1000...

Decimal entre decimal:

Primero transformamos la división en otra equivalente que no tenga decimales en el divisor.

​Para ello multiplicamos el  dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el divisor. Después dividimos como ya hemos aprendido.

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

La definición de circunferencia es "el conjunto de todos los puntos de un plano que están a una distancia fija de un centro".

Radio y diámetro

El radio es la distancia del centro al borde.

El diámetro empieza en un punto de la circunferencia, pasa por el centro y termina en el otro lado.

Así que el diámetro es el doble del radio

Diámetro = 2 × Radio

Longitud de la circunferencia

La circunferencia es la distancia alrededor del borde del círculo.

Mide exactamente Pi (el símbolo es π) por el diámetro, o sea:

Circunferencia = π × Diámetro

Y estas fórmulas también:

Circunferencia = 2 × π × Radio

Circunferencia/Diámetro = π

Área del círculo

El área del círculo es π por el cuadrado del radio, se escribe así:

A = π × r2

O, en términos del diámetro:

A = (π/4) × D2

Es fácil acordarse si piensas en el área del cuadrado en el que cabe el círculo.